La fonction VPM d’Excel (emprunt sur la base de remboursements et d’un taux d’intérêt constants)

14/05/2014

Faisons un peu de mathématiques aujourd’hui!

Nous vous proposons de découvrir la fonction VPM d’Excel (PMT en anglais) à partir d’un exemple concret, puis de décortiquer la fonction VPM, et notamment le calcul qu’elle effectue.

La fonction VPM d’Excel : présentation et fonctionnement

Mettons que dans votre modèle financier sur Excel, vous ayez besoin de modéliser l’emprunt suivant : 100 000€ à un taux annuel de 5%, remboursé de manière mensuelle sur 10 ans, avec des mensualités constantes. La fonction qu’il vous faudra alors utiliser pour calculer la valeur du versement est la fonction VPM(), qui fonctionne de la manière suivante :

Dans notre exemple, il nous faut d’abord calculer le taux mensuel. Comment le calculer à partir du taux annuel? Une petite équation nous permet d’obtenir le résultat :

Fonction VPM - image 2

Une fois qu’on a calculé le taux mensuel, il n’y a plus qu’à appliquer la fonction VPM :

Fonction VPM - image 6

Le résultat, dans notre exemple, sera de 1 055€ (le résultat est d’abord négatif puisqu’il s’agit d’un montant à rembourser. Afin d’afficher un résultat positif, il faut multiplier le montant emprunté par -1).

 

Si l’on doit effectuer des remboursements annuels, la fonction fonctionne de la même manière, mais en utilisant le taux annuel…

Quel est le calcul effectué par la fonction VPM d’Excel?

Appelons m la mensualité constante, qui va donc être l’inconnue de notre équation…

Appelons C le capital de départ (100 000€ dans notre exemple)

Appelons MRDn le montant restant dû en fin de période n (lorsque n vaudra 120, dans notre exemple, MRDn vaudra 0)

Appelons t le taux mensuel (dans notre exemple, 0,41%)

Chaque mois, on va rembourser une mensualité m, qui viendra donc en déduction du montant restant dû en fin de période précédente, auxquels s’ajoutent les intérêts.

 

calcul vpm

 

Dans le crochet, on repère une suite géométrique de raison 1+t. On peut donc appliquer la formule qui nous donne la somme des n premiers termes d’une suite géométrique, ce qui simplifie l’équation de la manière suivante :

Fonction VPM - image 3

Or, le montant restant dû en fin de période étant de 0, on a, en simplifiant un peu :

Fonction VPM - image 4

Ce qui nous donne finalement :

Fonction VPM - image 5

Voici donc le calcul qu’effectue la fonction VPM!